Analysis by Forster

By Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am laptop nachvollzogen werden können. Die vorliegende nine. Auflage wurde an mehreren Stellen weiter überarbeitet und es wurden einige neue Abbildungen und Übungsaufgaben ergänzt.

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Setze ε := |a − b|/2. Dann gibt es nach Voraussetzung nat¨urliche Zahlen N1 und N2 mit |an − a| < ε f¨ur n N1 und |an − b| < ε f¨ur n N2 . F¨ur n := max(N1 , N2 ) gilt dann sowohl |an −a| < ε als auch |an −b| < ε. Daraus folgt mit der Dreiecks-Ungleichung |a − b| |a − an | + |an − b| < 2ε = |a − b| , also der Widerspruch |a − b| < |a − b|. Es muss also doch a = b sein. H¨aufig benutzt man bei der Untersuchung der Konvergenz von Folgen nicht direkt die Definition, sondern f¨uhrt die Konvergenz nach gewissen Regeln auf schon bekannte Folgen zur¨uck.

Wir zeigen nun in zwei Schritten die Gleichwertigkeit des Vollst¨andigkeitsAxioms mit dem Intervallschachtelungs-Prinzip. ✛ ✛ ✛ In ✲ In+1 I1 I0 ... 1 Intervallschachtelung Satz 2. Das Vollst¨andigkeits-Axiom impliziert das IntervallschachtelungsPrinzip. Beweis. Seien In = [an , bn ], n ∈ N, die ineinander geschachtelten Intervalle. Wir zeigen zun¨achst, dass die Folge (an ) der linken Endpunkte eine Cauchy-Folge darstellt. Beweis hierf¨ur. Da die L¨ange der Intervalle gegen null konvergiert, gibt es zu vorgegebenem ε > 0 ein N ∈ N, so dass diam(In ) < ε f¨ur alle n Sind n, m folgt N.

6. Man beweise: F¨ur jede reelle Zahl b > 1 und jede nat¨urliche Zahl k gilt bn = ∞. 7. Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen reeller Zahlen mit lim an = ∞ und lim bn =: b ∈ R. Man beweise: a) lim (an + bn ) = ∞. b) Ist b > 0, so gilt lim (an bn ) = ∞; ist b < 0, so gilt lim (an bn ) = −∞. 8. Man gebe Beispiele reeller Zahlenfolgen (an )n∈N und (bn )n∈N mit lim an = ∞ und lim bn = 0 an, so dass jeder der folgenden F¨alle eintritt: a) lim (an bn ) = +∞. b) lim (an bn ) = −∞. c) lim (an bn ) = c, wobei c eine beliebig vorgegebene reelle Zahl ist.

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